Discretizadores: Discretizer

El tipo abstracto Discretizer está pensado como una interfaz a las estructuras que permitan trabajar con una Ecuación Diferencial Ordinaria autónoma (un sistema continuo) de la forma

\[x'(t) = f_p(x(t), \alpha(t))\]

donde $\alpha$ es una función de $t$ conocida, y transformarlo en uno discreto

\[x_{n+1} = \mathcal{M}_p(x_n, \alpha_n)\]

El subíndice $p$ denota la posible dependencia de $f$ de algunos parámetros. Esto se hace mediante métodos numéricos como Euler, Runge Kutta, etc.

Para que funcione correctamente deben implementarse los siguientes métodos:

Métodos a implementar	Breve descripción
`(::Discretizer)(x::AbstractArray,u::Real)`	El método debe poder ser evaluado en un estado y un control
`jacobian_x(ds::Discretizer, x, α)`	Debe contarse con la derivada con respecto al estado.

Usaremos Euler progresivo como un ejemplo de cómo implementar la interfaz.

Método Euler progresivo

Dada una condición inicial $x(0) = x_0$, y un paso de tiempo $\Delta t$, definimos $t_{n+1} = t_{n} + \Delta t$. Denotamos $\alpha_n := \alpha(t_n)$. Definimos la sucesión $\{x_n \}_n$, intentando que $x_n \approx x(t_{n+1})$, mediante la recursión

\[x_{n+1} = x_n + \Delta t f_p(x_n, \alpha_n) =: \mathcal{M}_p(x_n, \alpha_n)\]

Para definir el discretizador, usaremos además la información del diferencial con respecto a $x$ de $f_p$, ya que esto es útil más adelante a la hora de definir un filtro de kalman extendido.

KalmanFilter.Euler — Type

struct Euler <: KalmanFilter.Discretizer

Define un Discretizer con el método de Euler progresivo.

Campos

f
La función tal que $x' = f(x,\alpha, p)$, donde $x$ es el estado, $\alpha$ un control, y $p$ son parámetros extra.

Dxf
$D_x f (x,\alpha, p)$, el diferencial de $f$ con respecto a $x$.
p
Parámetros extra $p$.
dt
Tamaño del paso temporal $\Delta t$, tal que $t_{n+1} = t_n + \Delta t$.

Esto permite definir los dos métodos necesarios de la interfaz

(eu::Euler)(x, α) = x + eu.dt * eu.f(x, α , eu.p)

jacobian_x(eu::Euler, x, α) = I + eu.dt * eu.Dxf(x, α, eu.p)

Donde I es la matriz identidad dada por el paquete LinearAlgebra.