KalmanFilter: Un paquete que hice por mi tesis y que nadie usará además de mí
Estoy probando a crear documentación.
Filtro de Kalman
Filtro de Kalman es un método poderoso para estimar un estado a partir de observaciones de este.
Supongamos que contamos con un sistema
\[x_{n+1} = M_n x_n + B_n u_n + F_n N_n\]
Donde $N_n$ son variables aleatorias normales, $N_n \sim \mathcal{N}(0,1)$. Suponemos además que este sistema es desconocido, y que solo podemos obtener observaciones $y_n$ de él.
\[y_n = H_n x_n + D_n u_n + G_n N_n \]
El filtro de Kalman es un método para construir una estimación filtrada $\hat{x}_n$ del estado real $x_n$, a partir de las observaciones $y_n$ y suponiendo que el control $u_n$ es conocido.
Una iteración del filtro de Kalman se puede dividir en dos pasos:
- Un paso de forecast, donde hacemos un suposición a priori de dónde estará el estado real en la próxima iteración a partir de la dinámica y nuestra estimación actual.
- Una vez que recibimos la observación proveniente del estado real, hacemos un paso de análisis donde incorporamos esa información para obtener una estimación a posteriori.
Hablando en términos más matemáticos, nuestro objetivo es obtener, en cada paso $n = 1, 2, \dots$, la distribución filtrada del estado; buscamos la distribución a posteriori de $x_n$ dadas las observaciones $y_1, \dots, y_n$ hasta la iteración $n$.
AGREGAR FORMULAS DE KALMAN.
Filtro de Kalman por ensambles
Ver [Katzfussa], la descripción está tomada de ahí.
El filtro de Kalman por ensambles (EnKF por su nombre en inglés Ensemble Kalman Filter), es una versión aproximada del filtro de Kalman, donde la distrubución del estado se representa con una muestra o "ensamble" de esa distribución .
Más específicamente, suponemos que $\hat{x}^{(1)}_{n,n}, \dots, \hat{x}^{(N)}_{n,n}$ es una muestra de la distribución filtrada en tiempo $n$, es decir, que $\hat{x}^{(i)}_{n,n} \sim \mathcal{N}(\hat{x}_{n,n}, \hat{P}_{n,n})$.
Al igual que con el filtro de Kalman, una iteración de EnKF también se hará en un paso de forecast y un paso de análisis.
Durante el forecast, nuestra distribución a priori será
\[\hat{x}^{(i)}_{n+1,n} = f_n(\hat{x}^{(i)}_{n,n}, u_n, w^{(i)}_n)\]
con $w^{(i)}_n \sim \mathcal{N}(0,Q_n)$. Para el caso lineal en que $f_n(x, u, w) = M_n x + B_n u + w$ se puede verificar que $\hat{x}^{(i)}_{n+1,n} \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ (COMPLETAR).
Recursos adicionales
- KalmanFilter.NET contiene explicaciones y tutoriales.
Un libro más matemático es Optimal Filtering de Brian Anderson y John Moore.
- Katzfussa, Stroudb, Wiklec, "Understanding the Ensemble Kalman Filter"